Juegos gravitatorios: tres son multitud

David Galadí-Enríquez / 06-08-2009

Afirma cierto chiste que los físicos son personas que se pierden contando más allá de dos. En efecto, hay muchos casos en física en los que la manera habitual de contar reza: "Uno, dos... muchos". El tema que estamos tratando en esta serie de artículos, la gravitación, ofrece el ejemplo más clásico, el paradigma de esta limitación intrínseca de la física a la hora de contar.

En los primeros cursos de mecánica que se imparten en la licenciatura de física se expone el denominado "problema de un cuerpo", o sea, el estudio del comportamiento de un único objeto que evoluciona sometido a la acción exclusiva de su propia atracción gravitatoria. El problema de un cuerpo se despacha de manera trivial aplicando la segunda ley de Newton. En realidad, ya quedó resuelto incluso en el primero de esta serie de artículos divulgativos: el objeto evoluciona sin que actúe sobre el mismo ninguna fuerza externa neta y, por lo tanto, su velocidad no cambia. Eso es todo.

El "problema de dos cuerpos" introduce una complicación muy considerable. Se trata de estudiar el comportamiento de dos objetos que evolucionan bajo el influjo de su atracción gravitatoria mutua. Esta situación se suele denominar también "el problema de Kepler", y su estudio exhaustivo requiere varias semanas de trabajo durante las cuales se aplican las herramientas del análisis matemático para deducir, poco a poco, todas las características del movimiento resultante: órbitas planas y de forma elíptica, velocidades variables, relaciones entre distancias y ritmos (leyes de Kepler), y toda una serie de detalles sutiles que apasionan y atormentan a quienes estudian física desde los tiempos de Isaac Newton.

Culminado el estudio del problema de dos cuerpos, el profesor inaugura la lección siguiente anunciando con aire triunfal: "Hoy empezamos un tema nuevo, 'El problema de muchos cuerpos'. Y como ejemplo concreto ofreceremos una introducción al 'problema de tres cuerpos'". El problema de un cuerpo se resuelve en una línea. El de dos cuerpos requiere todo un libro. ¿Y el de tres? Ni toda una biblioteca bastaría, porque, por sorprendente que parezca, se trata de un problema físico tan endiablado que ¡carece de solución! Está demostrado. Así de simple; así de complejo. No es ni una metáfora ni un juego de palabras ingenioso: al pie de la letra, en gravitación, tres son multitud.

Aunque sea verdad que el problema de muchos cuerpos (por ejemplo, tres) no se puede resolver de manera general, también es cierto que bajo ciertas condiciones simplificadas cabe deducir algunas soluciones particulares. Una simplificación bastante frecuente consiste en suponer que uno de los tres cuerpos carece de masa. Tenemos aquí una de esas situaciones ideales útiles, aunque intrínsecamente paradójicas, tan frecuentes en física: el objeto sin masa no afecta al movimiento de los otros dos, pero los dos cuerpos masivos sí interaccionan entre sí y alteran además la evolución del tercero. La física no se arredra ante la inevitable crítica metafísica a este proceder: ¿cómo puede ser que una partícula carente de masa perciba el influjo de la gravitación?

Al simplificar la situación quitándole la masa a uno de los objetos se obtiene el "problema de tres cuerpos restringido". Pero aún caben simplificaciones adicionales. La más habitual considera que los dos cuerpos masivos siguen órbitas circulares. Resulta así el "problema de tres cuerpos restringido y circular".

Un exceso de simplificación puede convertir los problemas en trivialidades carentes de interés, pero el problema de tres cuerpos restringido y circular todavía no llega a ese extremo. Hay muchas situaciones físicas reales que se pueden analizar hasta cierto punto en términos de este esquema simplificado. Por ejemplo, para estudiar el movimiento del gas en el seno de un sistema estelar binario, siempre y cuando las dos estrellas sigan órbitas aproximadamente circulares: la condición de que el tercer objeto carezca de masa se cumple en este caso, dado que la masa de una molécula de gas equivale casi exactamente a cero si se compara con la masa de cualquiera de las dos estrellas.

El Sistema Solar brinda varios ejemplos que se pueden estudiar en los mismos términos. Júpiter es tan grande que en una primera aproximación tiene sentido suponer que se halla solo en el entorno del Sol. Además sigue una órbita bastante circular. Las condiciones son las adecuadas para analizar el movimiento de un asteroide minúsculo como si careciera de masa: se cumplen los requisitos del problema de tres cuerpos restringido y circular. Situaciones parecidas se producen cuando se considera el sistema formado por un planeta y un satélite natural. Por ejemplo, y de nuevo como aproximación preliminar, la pareja formada por la Tierra y la Luna permite analizar el movimiento de un satélite artificial en el mismo marco simplificado.

Por radicales que parezcan estas simplificaciones, el problema de tres cuerpos restringido y circular conserva aún un grado considerable de complejidad y su estudio arroja conclusiones muy jugosas. Vamos a centrarnos ahora en un aspecto concreto: la existencia de puntos del espacio en los que el cuerpo sin masa y los dos objetos masivos pueden mantenerse en una configuración "fija", guardando siempre las mismas posiciones relativas. Desde uno cualquiera de los tres cuerpos, los otros dos se verían siempre clavados en la misma posición. La primera persona que analizó esta circunstancia fue Joseph Louis de Lagrange en 1772. Esos puntos privilegiados son cinco en total, y reciben el nombre de puntos lagrangianos o puntos de Lagrange.

Consideremos, para empezar, los dos cuerpos masivos. Como se explicó en el artículo de esta serie dedicado a las mareas, los dos cuerpos se mueven alrededor del "centro de gravedad" común. Ese "centro de gravedad" (o, con más propiedad, centro de masas) yace sobre la línea que une los dos astros, y se halla más cerca del más masivo de ellos. Los dos componentes masivos del sistema describen órbitas circulares mientras se desplazan en el mismo sentido y con idéntico periodo.

Estos dos astros podrían ser los miembros de un sistema estelar binario, o el Sol y Júpiter o, en general, dos objetos masivos cualesquiera que evolucionen en órbita circular o casi circular. Para fijar ideas, consideremos el Sol y la Tierra. El primer punto de Lagrange (L1) está situado en la línea que une los dos astros masivos, pero más cerca del más ligero de ellos. De manera intuitiva (y poco rigurosa) podría considerarse como ese lugar del espacio en el que las atracciones gravitatorias del Sol y de la Tierra se compensan mutuamente: un objeto pequeño (casi sin masa) colocado ahí, experimentaría la misma tendencia a caer hacia el Sol que a caer hacia la Tierra. Otro modo algo más riguroso de interpretar en punto L1 consiste en recordar algunos de los principios elementales de mecánica celeste que comentamos en el artículo "Cita en órbita", en esta misma serie. Sabemos que la Tierra dista del Sol aproximadamente 150 millones de kilómetros; esta distancia suele denominarse unidad astronómica de longitud, y su símbolo oficial es au. La Tierra, situada a 1 au del Sol, recorre su órbita casi circular en un año. Como vimos en el artículo citado, un objeto en órbita alrededor del Sol colocado a una distancia menor estaría obligado a desplazarse más rápido y, por lo tanto, tendería a adelantar a la Tierra en su órbita. Pero la Tierra, situada algo más allá, en su órbita superior, ejerce un "tirón" hacia fuera. Podríamos pensar que la atracción terrestre le "quita" algo de fuerza a la atracción solar. Por lo tanto, el cuerpo sin masa "percibe" el influjo de un Sol menos masivo. Y al "sustraerle" de este modo algo de masa al Sol, nuestro objeto minúsculo orbita con más lentitud. Hay un lugar situado entre la Tierra y el Sol en el que este juego hace que el tercer cuerpo gire alrededor del astro rey con el mismo periodo que la Tierra: tiende a mantenerse en el mismo lugar entre la Tierra y el Sol. Los cálculos indican que este emplazamiento, el punto L1, se encuentra a 0,01 au de la Tierra, o sea, a un millón y medio de kilómetros en dirección al Sol.

El punto L1 constituye un emplazamiento muy adecuado para colocar satélites artificiales dedicados a la observación del Sol o del medio interplanetario. El más conocido de los artefactos que se han situado en ese emplazamiento es el Observatorio Solar y Heliosférico, SOHO (SOlar and Heliospheric Observatory), de la Agencia Espacial Europea.

El segundo punto de Lagrange, L2, se encuentra también en la línea que une el Sol con la Tierra, pero en el exterior de la órbita terrestre. Volvamos al razonamiento intuitivo anterior, basado en las leyes de la mecánica orbital. Un objeto colocado en órbita alrededor del Sol pero a una distancia de la estrella superior a 1 au, tendería a desplazarse con más lentitud que la Tierra y debería quedar rezagado con respecto a nuestro planeta en su recorrido. Pero al estar la Tierra "ahí abajo", el cuerpo sin masa "percibe" la atracción solar incrementada. En cierto modo estamos "añadiendo masa" al Sol, y un Sol más masivo exige que la órbita del tercer cuerpo se acelere. En un lugar determinado, el punto L2, esa aceleración hace que el objeto sin masa dé una vuelta alrededor del Sol justo en un año. Un artefacto situado en ese lugar acompañará a la Tierra permanentemente, pero a un millón y medio de kilómetros de distancia de la órbita terrestre, por el exterior.

Como en el caso de L1, el punto L2 presenta atractivos considerables para la astronáutica: un satélite colocado en ese lugar puede observar con toda comodidad casi todo el firmamento manteniendo a la vez una lejanía cómoda de la luz y la radiación terrestres, pero sin distanciarse de ella tanto como para dificultar las comunicaciones. El punto L2 es el elegido para un buen número de misiones espaciales pasadas y futuras, como la sonda WMAP, que cartografió la radiación cósmica de fondo, el observatorio infrarrojo europeo Herschel o la misión astrométrica Gaia.

El tercer punto de Lagrange, L3, se halla también en la línea que une los dos astros masivos, pero al otro lado del Sol. En ese emplazamiento, el tercer cuerpo sigue una órbita en torno al centro de masas Sol-Tierra, pero como si en ese centro hubiera un objeto de masa algo superior a la masa solar: la lejana Tierra, situada a una unidad astronómica al otro lado del Sol, es la responsable de este efecto debilísimo. Se entiende sin dificultad que el influjo adicional de un cuerpo tan pequeño y lejano como la Tierra casi no se note, lo cual hace que el punto L3 Sol-Tierra carezca casi de interés, pero sí tiene relevancia en otros sistemas físicos en los que las masas de los dos cuerpos principales estén más equilibradas.

Y por fin llegamos a los puntos de Lagrange L4 y L5, los más conocidos y llamativos. Se trata de dos puntos del espacio que forman triángulos equiláteros con la Tierra y con el Sol. Son lugares situados sobre la órbita de la Tierra, pero 60° por delante (L4) y 60° por detrás (L5) de nuestro planeta. Esos emplazamientos, localizados en el plano orbital terrestre a 1 au tanto de la Tierra como del Sol, constituyen verdaderas "trampas" para los incautos objetos ligeros que pasen por ahí. El motivo radica en que los puntos de Lagrange cuarto y quinto son estables o, dicho de otro modo, un cuerpo situado en cualquiera de ellos tiende a regresar allí si se le aplica una perturbación ligera. En cambio, los otros tres puntos de Lagrange son inestables: los artefactos colocados en ellos se alejarán de los mismos de manera indefinida al recibir la más mínima perturbación. Y en el Sistema Solar abundan las perturbaciones (efectos de otros planetas, falta de circularidad de las órbitas, presión de radiación...). Por eso todos los satélites artificiales mencionados (SOHO, Herschel, Gaia...) tienen que estar equipados con propulsores que los devuelven a la posición deseada cuando los ingenios espaciales se alejan paulatinamente de esos puntos. La diferencia en cuanto a estabilidad explica que no haya ejemplos naturales de ocupación de los puntos de Lagrange 1 a 3, mientras que sí los hay en los puntos 4 y 5. El caso más notorio no se encuentra en el Sistema Sol-Tierra, sino en el sistema Sol-Júpiter: el mayor planeta del Sistema Solar va acompañado en su órbita por dos nubes de asteroides (objetos casi sin masa) situadas 60° por delante y 60° por detrás. Se trata de los más de 200 asteroides denominados troyanos. Se ha descubierto que el planeta Marte también cuenta con al menos un "troyano", el asteroide Eureka. Es posible que también la Tierra y otros planetas tengan sus propios "troyanos". El sistema Tierra-Luna posee una especie de "troyanos" en forma de nubes de materia interplanetaria atrapada en los puntos L3 y L4: las nubes de Kordylewski, unas formaciones tenues y muy difíciles de observar que al parecer acompañan a la Luna en su recorrido alrededor de la Tierra. En múltiples ocasiones se ha afirmado que los puntos de Lagrange 4 y 5 del sistema Tierra-Luna ofrecen emplazamientos óptimos para estaciones espaciales o centrales de comunicaciones, aunque las dificultades planteadas por su lejanía tornan estas propuestas poco viables, al menos por ahora.

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El autor

David Galadí-Enríquez es Doctor en Física y trabaja en el Centro Astronómico Hispano Alemán (Observatorio de Calar Alto) como astrónomo técnico y responsable de comunicación.

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