El annus mirabilis de Einstein (I) - ¿Cuánto mide una molécula de azúcar?

Octavi López Coronado / 13-02-2006

En 1905 Albert Einstein tenía 26 años. Había terminado su tesis doctoral, que más adelante aparecería publicada de forma resumida en la revista Annalen der Physik, y su presentación fue una de las cinco aportaciones que convirtieron ese año en su famoso annus mirabilis, cuyo centenario se celebró en 2005, declarado Año Mundial de la Física.

Las otras cuatro publicaciones fueron artículos científicos que escribió mientras compaginaba su afición a la física y su trabajo a tiempo completo en la Oficina de Patentes de Suiza, en Berna, con su mujer Mileva Maric, y con el pequeño Hans Albert, de un año de edad. Esto puede ser considerado un "mirabili", pero hoy en día no es tan inusual el becario precario, con mujer e hijo, que compagina la investigación con el trabajo, lee su tesis doctoral y publica cuatro artículos en un año. Lo excepcional en Einstein fue la calidad de sus publicaciones, ya que las aportaciones a la física de cada una de ellas fueron sustanciales.

Antes de preguntarse por la naturaleza del tiempo, por la equivalencia entre masa y energía, o de imaginarse qué pasaría si nos situásemos cabalgando sobre un rayo de luz, la mente de Einstein estuvo ocupada en una cuestión aparentemente mucho más prosaica: ¿cuánto mide una molécula de azúcar? Su tesis doctoral, presentada en la Universidad de Zurich el 20 de julio de 1905, se titulaba "Una nueva determinación de las dimensiones moleculares". En ella presentaba un método para determinar el tamaño de las moléculas de sustancias disueltas en un líquido a partir de la viscosidad de la disolución. El artículo publicado en Annalen der Physik que resumía su tesis ha sido uno de los artículos de Einstein más citados a lo largo de la historia. En aquella época existían métodos experimentales que permitían determinar las dimensiones de las moléculas de los gases, pero el método de Einstein permitía por primera vez determinar el volumen de las moléculas en un líquido.

En su desarrollo, Einstein relacionó hábilmente varias propiedades físicas que se pueden medir mediante experimentos en una disolución, como la viscosidad de un líquido con y sin soluto (el soluto es la sustancia disuelta); la temperatura; el coeficiente de difusión del soluto (es decir, la medida de lo rápido que éste se disuelve); algunas constantes físicas conocidas, como la constante de los gases (R) y el Número de Avogadro (N) (en aquel entonces todavía no determinado con exactitud); y finalmente la propiedad desconocida e inaccesible experimentalmente: el radio de las moléculas del soluto (P).

Para afrontar el problema y obtener la fórmula con la que calcular las dimensiones de las moléculas, Einstein realizó primero unas cuantas simplificaciones. En física se hacen muchas simplificaciones. Son una herramienta muy útil para poder avanzar en una teoría y obtener fórmulas que se puedan comprobar experimentalmente. Por ejemplo, para poder calcular el tiempo necesario para guisar un pollo en el microondas es necesario conocer el calor que absorbe y que disipa por unidad de tiempo. Para ello, la primera simplificación que se puede hacer es considerar el pollo esférico y de densidad homogénea. Eso dejará de ser un pollo, pero si se hace bien, la fórmula que se obtendrá será correcta, o por lo menos proporcionará una muy buena aproximación del tiempo necesario para que el pollo quede en su punto.

Einstein empezó cuestionando cómo influye en el movimiento de un líquido una esfera suspendida en él, con el fin de obtener una fórmula que proporcionara el calor disipado por la esfera en función de su volumen y de la viscosidad del líquido. Para ello consideró que las moléculas de azúcar disueltas se podían simplificar como grandes esferas entre infinidad de diminutas moléculas de agua. Éstas últimas tan diminutas que se podía considerar el agua como un fluido y las moléculas de azúcar como esferas inmersas en él. Quizá una molécula de agua se parezca un poco a un pollo preparado para guisar en el horno, sin cabeza y sin el extremo de las patas. El cuerpo del pollo es como el gran átomo de oxígeno y las dos patitas recortadas como los dos diminutos hidrógenos. Sin embargo la molécula de azúcar no se parece en nada a un pollo, y menos a una esfera. Es una maraña de doce átomos de carbono, veintidós de hidrógeno y once de oxígeno, pero la simplificación funciona.

A continuación determinó cómo variaba el valor de la viscosidad de un líquido plagado de diminutas esferas suspendidas en función del volumen total de las esferas. Cuanto mayor era el volumen ocupado por las esferas, mayor era la viscosidad del líquido.

Combinando estas dos fórmulas obtenía el volumen total de una sustancia disuelta según la variación en la viscosidad medida experimentalmente. El resultado era mayor que el del volumen de la sustancia antes de ser introducida en el líquido, por lo que Einstein dedujo que cada molécula de soluto actúa como si tuviese un volumen tres veces mayor que su volumen real, a causa de que liga a las moléculas del líquido a su alrededor. Con ello, Einstein demostró por primera vez que las moléculas de solvente están ligadas a las moléculas de soluto, un problema que todavía estaba pendiente de resolver en la teoría de las disoluciones.

A Einstein ya sólo le faltaba una ecuación para poder combinarlas y calcular así el tamaño de las moléculas: la ecuación que relaciona la velocidad a la que se disuelve la sustancia, es decir, el coeficiente de difusión, con la viscosidad del líquido y el radio de las moléculas.

Con estas ecuaciones ya tenía todos los elementos para el cálculo del radio. De hecho, lo que obtuvo fue un sistema de dos ecuaciones cuyas incógnitas eran tanto el radio de las moléculas como el Número de Avogadro (N), que no es más que el número de moléculas que hay en 18 gramos de agua, o en 342 gramos de azúcar. Se trata del número de moléculas que hay en la cantidad de sustancia determinada por su peso molecular expresado en gramos (que para el agua es 18 y para el azúcar 342). Ese número mágico es enorme, y hoy sabemos que su valor es de 602.214.150.000.000.000.000.000 moléculas (o bien, escrito en notación científica, 6,023x1023).

Una vez obtenida la fórmula, Einstein substituyó las incógnitas por los valores experimentales para el caso de una disolución acuosa de azúcar, a 20 ºC, y calculó el Número de Avogadro y el radio de las moléculas. Su resultado: en 342 gramos de azúcar hay 2,1x1023 moléculas de azúcar que, consideradas como pequeñas esferas, tienen un radio de 0,000000099 centímetros.

Claro que, si las moléculas de azúcar no son realmente esféricas, ¿qué sentido tiene calcular su radio? La importancia está en que esa cifra daba un orden de magnitud, es decir, un valor aproximado de referencia para el tamaño de unas partículas que, en ese momento, ni siquiera estaba del todo claro que existiesen. La comprobación experimental de la naturaleza atómica y molecular de la materia, que hoy damos por supuesta, era una de las cuestiones abiertas de la física de 1905.

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    Autor: Gotzon Cañada

    Créditos imágenes originales: Octavi López Coronado

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El autor

Octavi López Coronado es Doctor en Física y divulgador científico. Actualmente trabaja como técnico de Comunicación Científica en el Área de Comunicación de la Universitat Autònoma de Barcelona.

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